Question

求微分方程y〃-2y′+y=(x-1)e^x的通解？

Answer 1

答：
y''-2y'+y=(x-1)e^x
特征方程a^2-2a+1=0
解得a1=a2=1
齐次方程的特解为y=(C1+C2x)e^x
设特解为y*=(ax^2+bx+c)e^x
y*'=(2ax+b+ax^2+bx+c)e^x
y*''=(2a+2a+b+2ax+b+ax^2+bx+c)e^x
代入原来方程有：
ax^2+(2a+b)x+4a+2b+c-2(ax^2+2ax+bx+b+c)e^x+(ax^2+bx+c)e^x=(x-1)e^x
所以：
(2a+b)-4a-2b+b=1
4a+2b+c-2b-2c+c=-1
所以：
-2a=1,a=-1/2
特解为y*=-(1/2)(x^2)e^x
所以：通解为y=(C1+C2x)e^x-(1/2)(x^2)e^x
通解为y=[C1+C2x-(1/2)x^2]*e^x,10,2,