Question

当x∈[-2，2]时，不等式x2+ax+3≥a恒成立，求a的取值范围

当x∈[-2，2]时，不等式x2+ax+3≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：
设f(x)=y=x²+ax+3-a，即x∈[-2，2]时，y≥0
二次项系数1>0，函数图像开口向上
配方，得
f(x)=y=(x+ a/2)²+3-a -a²/4
对称轴x=-a/2
要y≥0，只需要最小值≥0。分类讨论：
(1)
-a/2<-2时，即a>4时，对称轴在区间[-2，2]左侧，函数单调递增，x=-2时函数有最小值
f(-2)≥0
(-2)²+a·(-2)+3-a≥0
整理，得3a≤7，a≤7/3<4，舍去。
(2)
-2≤-a/2≤2时，即-4≤a≤4时，对称轴在区间上，x=-a/2时，函数有最小值
3-a-a²/4≥0
整理，得a²+4a-12≤0
(a+6)(a-2)≤0
-6≤a≤2，又-4≤a≤4，因此-4≤a≤2
(3)
-a/2>2时，即a<-4时，对称轴在区间[-2，2]右侧，函数单调递减，x=2时函数有最小值
f(2)≥0
2²+a·2+3-a≥0
a+7≥0，a≥-7，又a<-4，因此-7≤a<-4
综上，得-7≤a≤2，a的取值范围为[-7，2]

总结：
本题深入考察了二次函数的知识，具有一定难度，只有熟练掌握二次函数的知识，才能游刃有余。忽略了对称轴在区间上的情况，就容易出现取值范围是[-7，-4)的错误答案。

Answer 2

原不等式变成：x²+ax+3-a≥0，令f（x）=x²+ax+3-a，则由已知条件得：

f(?2)＝7?3a≥0 f(2)＝7+a＞0 ? a 2 ＜?2

，或

f(?2)＝7?3a＞0 f(2)＝7+a≥0 ? a 2 ＞2

，解得-7≤a＜-4；
∴a的取值范围为[-7，-4）．