Question

（高一数学）求函数f(x)=x+4/x在〔1，2〕上的最大值、最小值。（用单调性）

Answer 1

令0<X1<X2<=2则:
f(X1)-f(X2)=(x1+4/x1)-(x2+4/x2)
=[X1*X2(X1-X2)+4(X1-X2)]/(x1*x2)
=[(x1-x2)(x1*x2-4)]/(x1*x2)
而0<X1<X2<=2 既:(x1-x2)<0,x1*x2-4<0
从而f(X1)-f(X2)>0
故:当0<X1<X2<=2时 f(X1)-f(X2)>0
从而:f(x)=x+4/x在区间(0,2]上为减函数

那么在〔1，2〕上的最大值是f(1)=1+4=5、最小值是f(2)=2+2=4。

Answer 2

解答：见图片(已经传上，等几分钟)。

Answer 3

此题 比较 简单，你表示的 区间 有 问题，应该是闭区间
解 令1<=X1<X2<=2则:x1-x2<0, 1<x1*x2<4, -3<x1*x2-4<0
f(X1)-f(X2)=(x1+4/x1)-(x2+4/x2)=[X1*X2(X1-X2)-4(X1-X2)]/(x1*x2)
=[(x1-x2)(x1*x2-4)]/(x1*x2)>0,函数在【1，2】上 是减函数。
函数f(x)的最大值为f(1)=5,函数f(x)的最小值为f（2）=4

Answer 4

法一、 用导函数
对函数求导可得 f'(x)=1-4/x^2
当 1<x<2 时 1<x^2<4 1/4<1/x^2<1
-4<-4/x^2<-1 -3<1-4/x^2<0
即 -3<f'(x)<0 函数单调递减

法二、用函数单调性的定义
设 1<x1<x2<2
所以 x1-x2<0 1<x1*x2<4
所以 f(x1)-f(x2)=(x1+4/x1)-(x2+4/x2)=[x1 * x2(x1-x2)+4(x1-x2)]/(x1*x2)
=[(x1-x2)(x1*x2-4)]/(x1*x2)>0
即 函数在区间(0,2)上为减函数

综上可知 在区间〔1，2〕上有
当x=1时 函数有最大值 f(1)=1+4=5
当x=2时 函数有最小值 f(2)=2+2=4

如果学过导数，一些简单的题目求导会比较简便
而有些题目用导数的方法很复杂，还要熟练用定义作答