Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=1，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）=f（x-1），则f（2011）

已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=1，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）=f（x-1），则f（2011）+f（2012）+f（2013）=______．

Answer 1

因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x）=f（-x），g（x）是定义在R上的奇函数，所以g（x）=-g（-x），
由g（x）=f（x-1），取x=x+1，所以f（x）=g（x+1），又g（x）=-g（-x），所以f（x）=-g（-x-1）=-f（-x-2）=-f（x+2），
则f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f（x），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数．
因为g（x）是定义在R上的奇函数，所以g（0）=0，由g（x）=f（x-1），取x=0，得：f（1）=f（-1）=g（0）=0，又f（0）=1，
所以f（2011）+f（2012）+f（2013）=f（-1）+f（0）+f（1）=0+1+0=1．
故答案为1．

Answer 2

因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x）=f（-x），g（x）是定义在R上的奇函数，所以g（x）=-g（-x），
由g（x）=f（x-1），取x=x+1，所以f（x）=g（x+1），又g（x）=-g（-x），所以f（x）=-g（-x-1）=-f（-x-2）=-f（x+2），
则f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f（x），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数．
因为g（x）是定义在R上的奇函数，所以g（0）=0，由g（x）=f（x-1），取x=0，得：f（1）=f（-1）=g（0）=0，又f（0）=1，
所以f（2011）+f（2012）+f（2013）=f（-1）+f（0）+f（1）=0+1+0=1．
故答案为1．