Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题：①D1P∥平面A1BC1； ②D1P⊥

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题：①D1P∥平面A1BC1； ②D1P⊥BD； ③平面PDB1⊥平面A1BC1；④三棱锥A1-BPC1的体积不变．则其中所有正确的命题的序号是______．

Answer 1

解：①∵在正方体中，D₁A∥BC₁，D₁C∥BA₁，且D₁A∩DC₁=D₁，
∴平面D₁AC∥平面A₁BC₁；
∵P在面对角线AC上运动，
∴D₁P∥平面A₁BC₁；∴①正确．
②当P位于AC的中点时，D₁P⊥BD不成立，∴②错误；
③∵A₁C₁⊥平面BDD₁B₁；∴A₁C₁⊥B₁D，
同理A₁B⊥B₁D，
∴B₁D⊥平面A₁BC₁，
∴平面BDD₁B⊥面ACD₁，
∴平面PDB₁⊥平面A₁BC₁；
∴③正确．
④三棱锥A₁-BPC₁的体积等于三棱锥B-A₁PC₁的体积．
△A₁PC₁的面积为定值

1

2

A1C1?AA1，
B到平面A₁PC₁的高为BP为定值，
∴三棱锥A₁-BPC₁的体积不变，∴④正确．
故答案为：①③④．