Question

对函数f(x)=(x–1)(x-2)(x-3)验证罗尔定理的正确性

Answer 1

解答：
罗尔中值定理：
如果函数f(x)满足以下条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续，
（2）在(a,b)内可导，
（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
验证步骤
1，很容易发现，f(x)的定义域是R，且在R上连续
我们就取(0，4)
2，f'(x)=(x-2)(x-3)+(x-1)(2x-5)
很容易发现，f(x)在(0，4)上可导。
3，容易发现f(0)=6，f(4)=6，即f(0)=f(4)=6
令f'(x)=(x-2)(x-3)+(x-1)(2x-5)=0
展开并整理得：
x^2-5x+6+x^2-7x+5=0
3x^2-12x+11=0
x^2-4x+11/4=0

x^2-4x+4-5/4=0
(x-2)^2=5/4
x-2=±√5/2
x=2±√5/2
x=(4±√5)/2

x=(4+√5)/2≈3.118，在(0，4)内
x=(4-√5)/2≈0.882，在(0，4)内
即在(0，4)内，至少存在一个ξ使得f'(ξ)=0
验证完毕