Question

已知limXn＝a.求证lim√Xn＝√a

已知limXn＝a.求证lim√Xn＝√a大学高等数学

Answer 1

当a≠0时
|√xn-√a|=|xn-a|/(√xn+√a)<|xn-a|/√a
∵lim(n→∞)xn=a,∴对于任意√aE>0,存在正整数N,当n>N时,|xn-a|<√aE
∴|xn-a|/√a<E
取上述的N,则当n>N时,有|√xn-√a|<E,∴lim(n→∞)√xn=√a

当a=0时,∵lim(n→∞)xn=0,∴存在正整数N,当n>N时|xn|<E²
∴取上述的N,则当n>N时|√xn-√a|=√xn<E
∴lim(n→∞)√xn=√a