证明：若A^2=E,且A≠E,则A+E非可逆矩阵
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定理:
设a,b为同阶方阵,
若
ab=e,
则a,b都可逆,
且
a^-1=b.b^-1=a.
所以从已知等式中凑出
a+e
乘
b
=
ke
(k≠0)
即知a+e可逆
且
(a+e)^-1
=
(1/k)b.
设a,b为同阶方阵,
若
ab=e,
则a,b都可逆,
且
a^-1=b.b^-1=a.
所以从已知等式中凑出
a+e
乘
b
=
ke
(k≠0)
即知a+e可逆
且
(a+e)^-1
=
(1/k)b.
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A^2=E^2
A^2-E^2=0
(A+E)(A-E)=0
假设A+E可逆
则
两边同时左乘(A+E)^(-1)
得
(A+E)^(-1)*(A+E)(A-E)=(A+E)^(-1)*0
A-E=0
与已知A≠E矛盾
故
A+E非可逆矩阵
A^2-E^2=0
(A+E)(A-E)=0
假设A+E可逆
则
两边同时左乘(A+E)^(-1)
得
(A+E)^(-1)*(A+E)(A-E)=(A+E)^(-1)*0
A-E=0
与已知A≠E矛盾
故
A+E非可逆矩阵
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