Question

如图所示，PA为圆 的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5， 的平分线与BC和圆 分别交于点D

如图所示，PA为圆 的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5， 的平分线与BC和圆 分别交于点D和E。 （1）求证： ；（2）求AD·AE的值。

Answer 1

（ 1）直接根据∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，进而求出结论； （2）90

试题分析：（ I）直接根据∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，进而求出结论； （ II）先根据切割线定理得到PA 2 =PB?PC；结合第一问的结论以及勾股定理求出 ；再结合条件得到△ACE∽△ADB，进而求出结果． 解：（ I）∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAB=∠ACP，…（1分） 又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分） ∴ ．…（3分） （ II）∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线， ∴PA 2 =PB?PC．…（5分） 又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分） 由（ I）知， ， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB=90°． ∴AC 2 +AB 2 =BC 2 =225， ∴  …（7分） 连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分） 又∠CAE=∠EAB， ∴△ACE∽△ADB， ∴  …（9分） ∴ ．…（10分）   点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．解决本题第一问的关键在于先由切线PA得到∠PAB=∠ACP．