Question

高一数学，求值域的判别式法

对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：
由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，
把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，求y的取值范围”把x当成未知量，y当成常量，化成一元二次方程，让这个方程有根．先看二次项系数是否为零，再看不为零时只需看判别式大于等于零了．
此时直接用判别式法是否有可能出问题，关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形。
这个问题进一步的等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范围”
这种方法不好有很多局限情况，如：定义域是一个区间的．定义域是R的或定义域是R且不等于某个数的还可以用．过程用上面的就可以了.
——1.为什么'判别式大于等于零'
2.为什么'定义域是一个区间的'不能用？为什么‘定义域是R的或定义域是R且不等于某个数的’可以用?

Answer 1

你所用的判别式法我基本上看懂，自愧才疏学浅，我倒可以把你说的再转换一点，给出我的一些想法。这道题是值域为R，求满足条件的定义域的问题，y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)，
y(x^2+mx+n)-ax^2+bx+c)=0，把y，m，n，b，c看成已知量，就成了关于x的一元二次方程有没有解的问题了，显然根据题意是有解的，不然y就无意义了，所以必须使判别式大于等于零且这与y值无关，已经回答你第一个问题了。
然后是第二个问题，如定义域x是R，上面用判别式得出的x是一个确定的值或两个确定的值（判别式大于零有两个解，判别式小于零有一个解，解就是x的值），显然x不是一个区间。
不知道这样说你能不能理解，还可以继续讨论。我一个字一个字打出来的，希望你采纳。

追问

为什么方程无解y会无意义？
还有你答得第二个还是没看懂……

追答

第一：y(x^2+mx+n)-ax^2+bx+c)=0，你就把它看成最简单的一元二次方程求根问题，要么是一个根，判别式等于零；要么是两个根，判别式大于零；要么是没有根，判别式小于零。如果判别式小于零，就没有x满足上式，返归到这里y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)就是定义域x是空集，没有定义域还怎么能说值域y为R呢？

第二：把这道题转化成y(x^2+mx+n)-ax^2+bx+c)=0后，定义域还是x，而值域已经是0了，只要定义域存在就好了，即x不为空集，如果在使x不为空的条件里不涉及y，即不对y进行限制，那么y就可以取全集R，高中所涉及的定义域基本上都在R集里。

追问

那如果判别式大于等于零，y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)的定义域x是只含两个元素吗？但是定义域不是R吗？

追答

如果把上式y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)
转化为y(x^2+mx+n)-ax^2+bx+c)=0，且把y，m，n，b，c看成已知量，yx^2-ax^2不等于零，判别式大于零，x就只有两个解。

追问

那和定义域是R不矛盾吗？

追答

做题有时候为了把题简单化，可以把一些未知量看出已知量，也就是定量，这道题中把m，n，b，c看成已知量，但实际情况并不是的，求出的结果会是m，n，b，c的取值范围，而对范围中每一个m，n，b，c定值来说，x值就是确定的，但m，n，b，c不唯一，所以x的值也会有很多。

Answer 2

看不懂题目意思，大致猜测

1. 判别式大于等于零不就意味着着二次方程有1个根或者2个根吗？题目说有实数解了

2. 定义域是一个区间的话要看你求得根在不在这个区间里，判别式是针对整个方程的所有区间的
   

Answer 3

1.关于x的方程有解，即必存在x有意义使y存在，
2.考虑到分母x平方项有可能为零的情况，在转化
时，定义域为R，显然m平方-4n小于零，即分母恒大于零，若定义域为一个区间，则分母显然不能直接乘过来，
这种问题多领悟就好了，不能因为刚接触觉得难，后面接触多了，自然而然就会了，

追问

1方程无解，x就无意义了吗？
2为什么若定义域为一个区间，则分母显然不能直接乘过来？

谢谢你能看懂我的问题……我还是有点蒙

追答

关于x的方程，无解，把y看作一常量，x无取值，y也没取值，
若定义域为一区间，要分类讨论，

Answer 4

同学，花这么多时间来敲这么多字，还不如直接问同学老师，或是自己找到类似的题目（有答案解析的那种）理清一下思路。

Answer 5

你可以上高考资源网查看，有好多求值域的专题，可以找免费的下载哦.