Question

数列{an}为等差数列，d≠0，若数列{an}中ak1，ak2，ak3，…，akn构成等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=17．

数列{an}为等差数列，d≠0，若数列{an}中ak1，ak2，ak3，…，akn构成等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=17．（1）求kn；（2）求证：k1+k2+…+kn=3n-n-1．

Answer 1

（1）设等比数列ak1，ak2，ak3，…，akn的公比为q，
∵k₁=1，k₂=5，k₃=17
∴a₁?a₁₇=a₅² ，
即a₁（a₁+16d）=（a₁+4d）²，
 得 a₁d=2d²
∵d≠0，
∴a₁=2d，q=

a5

a1

＝3，
∵akn＝a1+(kn?1)d＝(kn+1)d，同时akn＝ak1?qn?1＝2d?3n?1，
∴k_n=2×3^n-1-1，n∈N*
（2）∵k_n=2×3^n-1-1，n≥1，
∴k₁+k₂+k₃+…+k_n=（2×3⁰-1）+（2×3¹-1）+…+（2×3^n-1-1）=

2(1?3n)

1?3

?n=3ⁿ-n-1．