Question

（2014?大连）如图，抛物线y=a（x-m）2+2m-2（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m-1

（2014?大连）如图，抛物线y=a（x-m）2+2m-2（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m-1）．连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC．点C关于直线l的对称点为C′，连接PC′，即有PC′=PC．将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C与点C′重合，得到△PB′C′．（1）该抛物线的解析式为y=1?mm2（x-m）2+2m-2y=1?mm2（x-m）2+2m-2（用含m的式子表示）；（2）求证：BC∥y轴；（3）若点B′恰好落在线段BC′上，求此时m的值．

Answer 1

解答：（1）解：∵A（0，m-1）在抛物线y=a（x-m）²+2m-2上，
∴a（0-m）²+2m-2=m-1．
∴a=

1?m

m2

．
∴抛物线的解析式为y=

1?m

m2

（x-m）²+2m-2．

（2）证明：如图1，
设直线PA的解析式为y=kx+b，
∵点P（m，2m-2），点A（0，m-1）．
∴

mk+b＝2m?2 0+b＝m?1

．
解得：

k＝ m?1 m b＝m?1

．
∴直线PA的解析式是y=

m?1

m

x+m-1．
当y=0时，

m?1

m

x+m-1=0．
∵m＞1，
∴x=-m．
∴点B的横坐标是-m．
设直线OP的解析式为y=k′x，
∵点P的坐标为（m，2m-2），
∴k′m=2m-2．
∴k′=

2m?2

m

．
∴直线OP的解析式是y=

2m?2

m

x．
联立

y＝ 2m?2 m x y＝ 1?m m2 (x?m)2+2m?2

解得：

x＝m y＝2m?2

或

x＝?m y＝2?2m

．
∵点C在第三象限，且m＞1，
∴点C的横坐标是-m．
∴BC∥y轴．

（3）解：若点B′恰好落在线段BC′上，
设对称轴l与x轴的交点为D，连接CC′，如图2，
则有∠PB′C′+∠PB′B=180°．
∵△PB′C′是由△PBC绕点P逆时针旋转所得，
∴∠PBC=∠PB′C′，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′．
∴∠PBC+∠PB'B=180°．
∵BC∥AO，
∴∠ABC+∠BAO=180°．
∴∠PB′B=∠BAO．
∵PB=PB′，PC=PC′，
∴∠PB′B=∠PBB′=

180°?∠BPB′

2

，
∴∠PCC′=∠PC′C=

180°?∠CPC′

2

．
∴∠PB′B=∠PCC′．
∴∠BAO=∠PCC′．
∵点C关于直线l的对称点为C′，
∴CC′⊥l．
∵OD⊥l，
∴OD∥CC′．
∴∠POD=∠PCC′．
∴∠POD=∠BAO．
∵∠AOB=∠ODP=90°，∠POD=∠BAO，
∴△BAO∽△POD．
∴

BO

PD

=

AO

OD

．
∵BO=m，PD=2m-2，AO=m-1，OD=m，
∴

m

2m?2

=

m?1

m

．
解得：
∴m₁=2+

2

，m₂=2-

2

．
经检验：m₁=2+

2

，m₂=2-

2

都是分式方程的解．
∵m＞1，
∴m=2+

2

．
∴若点B′恰好落在线段BC′上，此时m的值为2+

2

．