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如图,PA垂直于圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下
如图,PA垂直于圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB②EF⊥PB③AF⊥BC④AE⊥BC,...
如图,PA垂直于圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB②EF⊥PB③AF⊥BC④AE⊥BC,正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4
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∵AB是⊙O的直径,
∴AC⊥BC,
∵PA⊥⊙O所在平面,
∴PA⊥⊙O所在平面内的所有直线,
∴PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,
∴BC⊥面PAC,
∴BC⊥PC,
∵F是点A在PC上的射影,
∴AF⊥PC,
∵AF∩PC=F,
∴PC⊥面PAC,
∴AF⊥BC,
又AF⊥PC,
∴AF⊥面PBC,
∴AF⊥PB,∴①正确;
∵AF⊥面PBC,
BC?面PBC,
∴AF⊥BC∴③正确.
∵AF⊥PB,AE⊥PB,AF∩AE=A,
∴PB⊥面AEF,
∴EF⊥PB,
∴②正确.
∵AF⊥面PBC,
∴若AE⊥BC,
则AE⊥面PBC,
此时E,F重合,与已知矛盾.∴④错误;
故命题①②③正确,
故选:C
∴AC⊥BC,
∵PA⊥⊙O所在平面,
∴PA⊥⊙O所在平面内的所有直线,
∴PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,
∴BC⊥面PAC,
∴BC⊥PC,
∵F是点A在PC上的射影,
∴AF⊥PC,
∵AF∩PC=F,
∴PC⊥面PAC,
∴AF⊥BC,
又AF⊥PC,
∴AF⊥面PBC,
∴AF⊥PB,∴①正确;
∵AF⊥面PBC,
BC?面PBC,
∴AF⊥BC∴③正确.
∵AF⊥PB,AE⊥PB,AF∩AE=A,
∴PB⊥面AEF,
∴EF⊥PB,
∴②正确.
∵AF⊥面PBC,
∴若AE⊥BC,
则AE⊥面PBC,
此时E,F重合,与已知矛盾.∴④错误;
故命题①②③正确,
故选:C
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