Question

关于函数f（x）=4sin（2x+π3）（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；

关于函数f（x）=4sin（2x+π3）（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为f（x）=4cos（2x-π6）；③y=f（x）的图象关于点（-π6，0）对称；④y=f（x）的图象关于直线x=-2π3对称．以上命题成立的序号是______．

Answer 1

①∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）的周期T=

2π

2

=π，
∴由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是

π

2

的整数倍，故①错误；
②∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos[

π

2

-（2x+

π

3

）]=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），
∴y=f（x）的表达式可改写为f（x）=4cos（2x-

π

6

），即②正确；
③∵f（-

π

6

）=4sin[2×（-

π

6

）+

π

3

]=0，∴y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称，即③正确；
④∵f（-

2π

3

）=4sin[2×（-

2π

3

）+

π

3

]=0，不是最值，∴y=f（x）的图象不关于直线x=-

2π

3

对称，即④错误；
综上所述，以上命题成立的序号是②③．
故答案为：②③