Question

已知如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2

已知如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．

Answer 1

证明：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．
则△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
在△AEG和△AFE中

AG＝AF ∠GAE＝∠FAE AE＝AE

，
∴△AEG≌△AFE（SAS）．
∴EF=EG，
又∠GBE=90°，
∴BE²+BG²=EG²，
即BE²+CF²=EF²．