Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c满足f(1)=0,b=2c，求函数f(x)的单调增区间

若函数f(x)的图像在y轴上的截距为正数，比较f(0)，f(1\2)，f(根号2\2)的大小

Answer 1

由f(1)=0得 a+b+c=0 又因为B=2C 所以a+3c=0 所以a=--3c
函数f(x)的图像在y轴上的截距就是f(0）也就是C 所以f(0)=C
f(1\2)=1/4a+1/2b+c 由a=--3c b=2c 得f(1\2）=7/4C
同理 f(根号2\2)=（根号2+1-3/2）C 括号里的数大于0小于1
且C＞0
所以 f(1\2)大于f(0)大于f(根号2\2)\
求f(x)的导数为2ax+b 因为求单调增区间 所以令2ax+b＞0
用c代替 为-6c+2c＞0
即c＜1/3
用对称轴和图形也可以 对称轴为-b/2a
a小于0 左侧为增

追问

f(x)的单调增区间是什么？

追答

额 是-6cx+2c大于0
即x小于1/3
其他的在上面补充了 负无穷到 三分之1

Answer 2

a+b+c=0 b=2c
a+3c=0 a=-3c
f(0)=c
f(1/2)=1/4(-3c)+c+c
f(根号2/2)=1/2(-3C)+根号2c+c
因为递增f(0)大于f（1/2）大于f（根号2/2）

追问

f(x)的单调增区间是什么？

Answer 3

（1）∵f（1）=a+b+c=0
b=2c
∴a=-b-c=-3c
则f（x）=-3cx^2 +2cx+c
对称轴 x=-2c/[2*（-3c）]=1/3
① c＞0时 f（x）图像开口向下
f（x）单调递增区间 为 x≤1/3 即(-∞，1/3]
②c＜0时，f（x）开口向上
f（x）单调递增区间为 x≥1/3 即[1/3,+∞）
（2）
f（0）=c即为f（x）在y轴上的截距 则c＞0
f（0）=c f（1/2）=-3c*1/4+2c*1/2+c=5/4*c=1.25c
∴f（0）＜f（1/2）
f（√2/2）=-3c*(√2/2)^2 +2c*(√2/2)+c=(2√2 -1)/2 *c≈0.914d
∴f（√2/2）＜f（0）＜f（1/2）

注：第2问要用单调性解得话稍微麻烦
c＞0时 f（x）在[1/3,+∞）单调递减
√2/2＞1/2＞1/3
则f（√2/2）＜f（1/2）
下面开始麻烦了！ 怎样比较f（0）与f（√2/2）的大小
f（x）开口向下， 离对称轴x=1/3越远的x 对应的y值越小
1/3-0=1/3 ≈0.33333
√2/2 -1/3=0.707-0.333≈0.374
∴f（√2/2）＜f（0）
同样f（1/2）＞f（0） 推荐我的第一种方法。