Question

如图，△ABC与△A’B’C’相似，AD，BE是△ABC的高，A’D’，B’E’是△A’B’C’的高

如图，△ABC与△A’B’C’相似，AD，BE是△ABC的高，A’D’，B’E’是△A’B’C’的高。
求证：AD/A'D’=BE/B'E'

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Answer 1

三角形ABC的面积=AD*BC/2=BE*AC/2
所以AD/BE=AC/BC ①
同理，A'B'C'中有A'D'/B'E'=A'C'/B'C' ②

因为△ABC与△A'B'C'相似，所以BC/B'C'=AC/A'C'，即AC/BC=A'C'/B'C'
结合①②两式有：AD/BE=A'D'/B'E'
即AD/A'D'=BE/B'E'

Answer 2

证明：
∵⊿ABC∽⊿A’B’C’（已知）
∴∠ABC=∠A’B’C’（相似三角形对应角相等）
∵AD⊥BC，A’D’⊥B’C’（已知）
∴RT⊿ABD∽RT⊿A’B’D’（两角相等，两三角形相似）
∴AD/A'D’=AB/A’B’（相似三角形对应边成比例）
同理可证：BE/B'E'=AB/A’B’
∴AD/A'D’=BE/B'E'
——
定理：两三角形相似，设相似比为k
则：对应线段比=k，面积比=k^2
（对应线段：边长，中线，高，角分线，周长……，等等，只要是两三角形中的对应线段）