Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12．（1）求四棱锥S-

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12．（1）求四棱锥S-ABCD的体积；（2）求证：面SAB⊥面SBC；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

解答：（1）解：∵底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
∴四棱锥S-ABCD的体积：
V=

1

3

Sh=

1

3

×

1

2

×(AD+BC)×AB×SA
=

1

6

×(

1

2

+1)×1×1=

1

4

．
（2）证明：∵SA⊥面ABCD，BC?面ABCD，
∴SA⊥BC，
∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥面SAB 
∵BC?面SBC
∴面SAB⊥面SBC．
（3）解：连接AC，
∵SA⊥面ABCD，
∴∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角．
在三角形SCA中，
∵SA=1，AC=

12+12

＝

2

，
∴tan∠SCA＝

SA

AC

＝

1

2

＝

2

2

．…10分