Question

已知A（2，3），B（5，4），C（7，8）（1）若 AP = AB +λ AC

已知A（2，3），B（5，4），C（7，8）（1）若 AP = AB +λ AC ，(λ∈R) ，试求当λ为何值时，点P在第三象限内．（2）求∠A的余弦值．（3）过B作BD⊥AC交于点D，求点D的坐标．（4）求S △ABC ．

Answer 1

（1）设P（x，y）， AP =(x-2，y-3)， AB =(3，1)，λ AC =(5λ，5λ) ， ∵ AP = AB +λ AC ，(λ∈R) ， ∴ x-2=3+5λ y-3=1+5λ ，即 x=5λ+5 y=5λ+4 ， ∵点P在第三象限内， ∴ 5λ+5＜0 5λ+4＜0 ，解得：λ＜-1． （2）∵ AB =(3，1)， AC =(5，5) ， ∴cosA= | 3×5+1×5 9+1 ? 25+25 | = 2 5 5 ． （3）利用A（2，3），C（7，8）求出直线AC的表达式， 可用直线表达式y=kx+b，A、C两点代进去求出． 得k=1，b=1， 直线AC的表达式为y=x+1． 也由此知AC的斜率为1， 又因为BD⊥AC， 所以知直线BD的斜率为k=-1， 又因为直线BD过点B（5，4）， 所以可求得直线BD的表达式是y=-x+9 解方程组 y=x+1 y=-x+9 ，得x=4，y=5′． ∴两直线的交点坐标为D（4，5）． （2）根据两点间的距离公式d= ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 ， 得到AC= 5 2 ， BD= 2 ， 由（1）知BD⊥AC， 所以S △ABC = 1 2 AC×BD= 5 2 × 2 × 1 2 =5．