Question

记数列{a n }的前n项和为S n ，若 { S n a n } 是公差为d的等差数列，则{a n }为等差

记数列{a n }的前n项和为S n ，若 { S n a n } 是公差为d的等差数列，则{a n }为等差数列时d=______．

Answer 1

∵ { S n a n } 是 S 1 a 1 =1为首项，d为公差的等差数列， ∴ S n a n =1+（n-1）d， ∴S n =a n +（n-1）da n ，① S n-1 =a n-1 +（n-2）da n-1 ．② ①-②得： a n =a n +（n-1）da n -a n-1 -（n-2）da n-1 ， 整理可得 （n-1）da n -（n-1）da n-1 =（1-d）a n-1 ， 假设d=0，那么 S n a n =1 ， S 1 =a 1 ，S 2 =a 1 +a 2 =a 2 ， ∴a 1 =0，∵a 1 为除数，不能为0，∴d≠0． 在此假设a n 的公差为d′， 所以有d′= (1-d) a n-1 (n-1)d ， 当d=1时，d′=0，a n 是以a 1 为首项，0为公差的等差数列． 当d≠1时，a n-1 =（n-1） d?d′ 1-d ， a n -a n-1 = d?d′ 1-d =d′， ∴d= 1 2 ， 此时，a n 是以d′为首项，d′为公差的等差数列． 综上所述，d=1，或d= 1 2 ． 故答案为：1或 1 2 ．