Question

设f(x)在[a,b]上连续,任取p>0,q>0,证明:存在ξ∈ [ a,b ] ,使得pf(a)

设f(x)在[a,b]上连续,任取p>0,q>0,证明:存在ξ∈ [ a,b ] ,使得pf(a)+qf(b)=(p+q）f（ξ）。

Answer 1

证明：
令k=[pf(c)+qf(d)]/(p+q)
无妨设f(c)≤f(d),由于q是正数,所以
qf(c)≤qf(d)
pf(c)+qf(c)≤pf(c)+qf(d)
(p+q)f(c)≤pf(c)+qf(d) ①
因为p是正数,从而p+q是正数,所以①式两端同除以p+q,得
f(c)≤[pf(c)+qf(d)]/(p+q) 
即f(c)≤k ②
同理,pf(c)≤pf(d)
pf(c)+qf(d)≤pf(d)+qf(d)
pf(c)+qf(d)≤(p+q)f(d)
[pf(c)+qf(d)]/(p+q)≤f(d) 
即k≤f(d) ③
综合②,③两式,得
f(c)≤k≤f(d)
因为f(x)在[c,d]上连续,所以由连续函数的介值定理可知
存在&∈[c,d],使得
f(&)=k
即f(&)=[pf(c)+qf(d)]/(p+q)
上式两端同乘以p+q,便得
pf(c)+qf(d)=(p+q)f(&) 证完.
注：原题的已知条件有多余的部分,可改述如下：
设f(x)在[c,d]上连续,试证对任意的正数p,q,至少存在一个&属于[c,d],使
pf(c)+qf(d)=(p+q)f(&).
原已知条件中出现的[a,b],a