Question

设数列{an}满足：a1=1，a2=2，an+2=an(an+1 2+1)a2n+1（n≥1，n∈N*）．（1）求证：数列{an+1an+1an}是常

设数列{an}满足：a1=1，a2=2，an+2=an(an+1 2+1)a2n+1（n≥1，n∈N*）．（1）求证：数列{an+1an+1an}是常数列；（2）求证：当n≥2时，2＜an2-an-12≤3；（3）求a2011的整数部分．

Answer 1

（1）易知，对一切n≥1，a_n≠0，由a_n+2=

an(an+1+1)

a 2 n +1

，得

an+2

an+1+ 1 an+1

=

an+1

an+ 1 an

．
依次利用上述关系式，可得

an+1

an+ 1 an

=

an

an?1+ 1 an?1

=

an?1

an?2+ 1 an?2

=…=

a1

a1+ 1 a1

=

2

1+ 1 1

=1，
从而数列

an(an+1+1)

a 2 n +1

是常数列．（4分）
（2）由（1）得a_n+1=a_n+

1

an

．
又a₁=1，∴可知数列{a_n}递增，则对一切n≥1，有a_n≥1成立，从而0＜a_n²≤1．（6分）
当n≥2时，a_n²=a_n-1²+

1

a 2 n?1

+2，
于是a_n²-a_n-1²=

1

a 2 n?1

+2，
∴2＜a_n²-a_n-1²≤3．（8分）
（3）当n≥2时，a_n²=a_n-1²+

1

a   2 n?1

+2，
∴a=1，a₂²=4，则当n≥3时，
a_n²＞2n．
a₂₀₁₁²＞4 022＞3 969=63²，（10分）
a₂₀₁₁²=

1

a 2 2010

+…+

1

a 2 1

+2（2011-1）+1
=4 022+

1

2

＜4 022+

1

2

×33
=4 022+

1

2

×33
＜4 022+

1

2

（19+4+10）＜4 039＜4 096=64²．（14分）
∴63＜a₂₀₁₁＜64，即a₂₀₁₁的整数部分为63．（16分）