如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是AB的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC=60°
如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是AB的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC=60°．求证：AC=3AP；（2）如图②，若sin∠B...
如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是AB的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC=60°．求证：AC=3AP；（2）如图②，若sin∠BPC=2425，求tan∠PAB的值．
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（1）∵∠BPC=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠APC=∠ABC=60°，
而点P是
的中点，
∴∠ACP=
∠ACB=30°，
∴∠PAC=90°，
∴tan∠PCA=
=tan30°=
，
∴AC=
PA；
（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，
∴点O在AD上，
连结OB，则∠BOD=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴sin∠BOD=sin∠BPC=
=
，
设OB=25x，则BD=24x，
∴OD=
=7x，
在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，
∴AB=
=40x，
∵点P是
的中点，
∴OP垂直平分AB，
∴AE=
AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，OE=
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠APC=∠ABC=60°，
而点P是
 |
| AB |
∴∠ACP=
| 1 |
| 2 |
∴∠PAC=90°，
∴tan∠PCA=
| PA |
| AC |
| ||
| 3 |
∴AC=
| 3 |
（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，
∴点O在AD上，
连结OB，则∠BOD=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴sin∠BOD=sin∠BPC=
| 24 |
| 25 |
| BD |
| OB |
设OB=25x，则BD=24x，
∴OD=
| OB2?BD2 |
在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，
∴AB=
| AD2+BD2 |
∵点P是
|
| AB |
∴OP垂直平分AB，
∴AE=
| 1 |
| 2 |
在Rt△AEO中，OE=
AO<
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