Question

已知函数求的单调区间;求证:不等式对一切恒成立.

已知函数 求的单调区间; 求证:不等式对一切恒成立.

Answer 1

求导函数,对参数进行分类讨论:若,则,函数为增函数;若,令,可得的单调增区间,令,可得单调减区间;构造函数,求导函数,可得,令,,,设,,证明在上单调增,从而可得在上单调增,进一步可得在上单调增在上单调减,即可得到结论.
解:求导函数,可得若,则,函数为增函数,函数的单调增区间为若,令,可得,令,可得,的单调增区间为,单调减区间为;证明:设,求导函数,可得令,,,设,,,在上单调增,,,在上单调增,,在上单调增,,,在上单调减,,.
本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,解题的关键是利用导数确定函数的单调性.