Question

己知各项均为正数的数列{an}满足：a1=3，且anan+12-2（an2-1）an+1-an=0，n∈N*．（1）设bn=an-1an，求数

己知各项均为正数的数列{an}满足：a1=3，且anan+12-2（an2-1）an+1-an=0，n∈N*．（1）设bn=an-1an，求数列{bn}的通项公式；（2）设Sn=a12+a22+…+an2，Tn=1a12+1a22+…+1an2，求Sn+Tn，并确定最小正整数n，使Sn+Tn为整数．

Answer 1

（1）由题意知，
b_n+1=a_n+1-

1

an+1

=

an+12?1

an+1

=

2(an2?1)

an

=2(an?

1

an

)=2b_n，
b1＝a1?

1

a1

＝

8

3

，
∴数列{b_n}是公比为2，首项为

8

3

的等比数列，其通项公式为bn＝

2n+2

3

．
（2）由（1）有Sn+Tn＝(a1?

1

a1

)2+(a2?

1

a2

)2+…+(an?

1

an

)2+2n
=（

23

3

）²+（

24

3

）²+…（

2n+2

3

）²+2n
=

64

27

(4n?1)+2n，n∈N^*，
为使S_n+T_n=

64

27

(4n?1)2+2n，n∈N^*，当且仅当

4n?1

27

为整数．
当n=1，2时，S_n+T_n不为整数，
当n≥3时，4ⁿ-1=（1+3）ⁿ-1=