Question

已知数列 满足 , ， ．（1）求证： 是等比数列；（2）求证： 是等比数列并求数列 的通项公式；（

已知数列 满足 , ， ．（1）求证： 是等比数列；（2）求证： 是等比数列并求数列 的通项公式；（3）设 ，且 对于 恒成立，求 的取值范围．

Answer 1

已知数列 满足 , ， ． （1）求证： 是等比数列； （2）求证： 是等比数列并求数列 的通项公式； （3）设 ，且 对于 恒成立，求 的取值范围．

（1）由a n ＋1 ＝a n ＋6a n －1 ，a n ＋1 ＋2a n ＝3(a n ＋2a n －1 ) (n≥2)，∵a 1 ＝5，a 2 ＝5，∴a 2 ＋2a 1 ＝15 故数列{a n ＋1 ＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列    …………5分 （2）由（1）得a n ＋1 ＋2a n ＝5·3 n  ，∴ (a n ＋1 －3 n ＋1 )＝－2(a n －3 n )， 故数列 是以2为首项，-2为公比的等比数列，∴ a n －3 n ＝2(－2) n －1 ， 即a n ＝3 n ＋2(－2) n －1 ＝3 n －(－2) n              ………9分 （3）由3 n b n ＝n(3 n －a n )＝n[3 n －3 n ＋(－2) n ]＝n(－2) n ，∴b n ＝n(－ ) n 令S n ＝|b 1 |＋|b 2 |＋…＋|b n |＝ ＋2( ) 2 ＋3( ) 3 ＋…＋n( ) n 　　 S n ＝( ) 2 ＋2( ) 3 ＋…＋(n－1)( ) n ＋n( ) n ＋1         …………11分 得 S n ＝ ＋( ) 2 ＋( ) 3 ＋…＋( ) n －n( ) n+1 ＝2[1－( ) n ]－n( ) n+1 ∴ S n ＝6[1－( ) n ]－3n( ) n+1 ＜6，要使得|b 1 |＋|b 2 |＋…＋|b n |＜m对于n∈N ＊ 恒成立， 只须m≥6

略