已知二次函数y=g（x）的图象经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），设函数f（x）=（x-n）g（x）
已知二次函数y=g（x）的图象经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值，其中m＞n＞0，b＜...
已知二次函数y=g（x）的图象经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值，其中m＞n＞0，b＜a．（1）求g（x）的二次项系数k的值；（2）比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）；（3）若m+n≤2，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f（x）均相切，求y=f（x）．
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（1）由题意可设g（x）=kx（x-m），k≠0，
又函数图象经过点P（m+1，m+1），则m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1．…（2分）
（2）由（1）可得y=g（x）=x（x-m）=x2-mx．
所以f（x）=（x-n）g（x）=x（x-m）（x-n）=x3-（m+n）x2+mnx，
f′（x）=3x2-2（m+n）x+mn，…（4分）
函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，
故f′（a）=0，f′（b）=0，…（5分）
∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m2-2（m+n）m+mn=m2-mn=m（m-n）＞0…（7分）
f′（n）=3n2-2（m+n）n+mn=n2-mn=n（n-m）＜0
又b＜a，故b＜n＜a＜m． …（8分）
（3）设切点Q（x0，y0），则切线的斜率k＝f/(x0)＝3x02?2(m+n)x0+mn
又y0＝x03?(m+n)x02+mnx0，所以切线的方程是y?x03+(m+n)x02?mnx0＝[3x02?2(m+n)x0+mn](x?x0)…（9分）
又切线过原点，故?x03+(m+n)x02?mnx0＝?3x03+2(m+n)x02?mnx0
所以2x03?(m+n)x02＝0，解得x0=0，或x0＝
． …（10分）
两条切线的斜率为k1＝f/(0)＝mn，k2＝f/(
)，
由m+n≤2
，得（m+n）2≤8，
∴?
(m+n)2≥?2，
∴k2＝f/(
)＝
?2(m+n)×
又函数图象经过点P（m+1，m+1），则m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1．…（2分）
（2）由（1）可得y=g（x）=x（x-m）=x2-mx．
所以f（x）=（x-n）g（x）=x（x-m）（x-n）=x3-（m+n）x2+mnx，
f′（x）=3x2-2（m+n）x+mn，…（4分）
函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，
故f′（a）=0，f′（b）=0，…（5分）
∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m2-2（m+n）m+mn=m2-mn=m（m-n）＞0…（7分）
f′（n）=3n2-2（m+n）n+mn=n2-mn=n（n-m）＜0
又b＜a，故b＜n＜a＜m． …（8分）
（3）设切点Q（x0，y0），则切线的斜率k＝f/(x0)＝3x02?2(m+n)x0+mn
又y0＝x03?(m+n)x02+mnx0，所以切线的方程是y?x03+(m+n)x02?mnx0＝[3x02?2(m+n)x0+mn](x?x0)…（9分）
又切线过原点，故?x03+(m+n)x02?mnx0＝?3x03+2(m+n)x02?mnx0
所以2x03?(m+n)x02＝0，解得x0=0，或x0＝
| m+n |
| 2 |
两条切线的斜率为k1＝f/(0)＝mn，k2＝f/(
| m+n |
| 2 |
由m+n≤2
| 2 |
∴?
| 1 |
| 4 |
∴k2＝f/(
| m+n |
| 2 |
| 3(m+n)2 |
| 4 |
