Question

已知函数f（x）=ax 2 -（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）

已知函数f（x）=ax 2 -（a+2）x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若对任意x 1 ，x 2 ∈（0，+∞），x 1 ＜x 2 ，且f（x 1 +2x 1 ＜f（x 2 ）+2x 2 ）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x 2 -3x+lnx，f′（x）=2x-3+ 1 x ， 因为f′（1）=0，f（1）=-2，所以切线方程是y=-2； （2）函数f（x）=ax 2 -（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）， f′（x）=2ax-（a+2）+ 1 x = 2a x 2 -(a+2)x-1 x （x＞0）， 令f′（x）=0，即f′（x）= 2a x 2 -(a+2)x-1 x = (2x-1)(ax-1) x =0， 所以x= 1 2 或x= 1 a ， ①当a＞2时，令f′（x）＞0得，x＞ 1 2 或0＜x＜ 1 a ，f′（x）＜0得 1 a ＜ x＜ 1 2 ， ②当a=2时，f′（x）≥0恒成立， ③当0＜a＜2时，令f′（x）＞0得，x＞ 1 a 或0＜x＜ 1 2 ，f′（x）＜0得 1 2 ＜x＜ 1 a ， ④a＜0时，令f′（x）＞0得0＜x＜ 1 2 ，f′（x）＜0得x＞ 1 2 ， 所以当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0， 1 a ），（ 1 2 ，+∞）单调减区间为（ 1 a ， 1 2 ）； 当a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当0＜a＜2时，f（x）在（0， 1 2 ），（ 1 a ，+∞）上单调递增，在（ 1 2 ， 1 a ）上单调递减； 当a≤0时，f（x）在（0， 1 2 ）上单调递增，（ 1 2 ，+∞ ）上单调递减． （3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax 2 -ax+lnx， 只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可， 而g′（x）=2ax-a+ 1 x = 2a x 2 -ax+1 x ， 当a=0时，g′（x）= 1 x ＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立， 因为x∈（0，+∞），只要2ax 2 -ax+1≥0， 则需要a＞0， 对于函数y=2ax 2 -ax+1，过定点（0，1），对称轴x= 1 4 ＞0，只需△=a 2 -8a≤0，即0＜a≤8， 综上，0≤a≤8．