三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为O，且满足OA+OB+OC＝.0，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，
三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为O，且满足OA+OB+OC＝.0，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA=6，则此三棱锥体积最大值是（）A．12...
三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为O，且满足OA+OB+OC＝.0，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA=6，则此三棱锥体积最大值是（ ）A．12B．36C．48D．24
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解答：
解：如图，∵O是P在平面ABC内的射影，且满足
+
+
＝
，
∴O为三角形ABC的重心，连接AO并延长交BC于D，连接BO并延长交AC于F，则D、F分别为BC和AC的中点，
∵AH⊥平面PBC，BC?平面PBC，∴AH⊥BC，
∵H为三角形PBC的垂心，∴PH⊥BC，又∵PH∩AH=H，
∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥PA，
∵PO⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PO⊥BC，
又∵PA∩PO=P，∴BC⊥平面PAO，∴BC⊥AO，BC⊥AD．
D为BC的中点，AD⊥BC，∴AB=AC．
∵CH⊥PB，AH⊥PB，AH∩CH=H，∴PB⊥面AHC，∴PB⊥AC，
又∵PO⊥AC，PO∩PB=P，∴AC⊥平面PBO，
∴AC⊥BO，AC⊥BF，
又∵F为AC的中点，∴AB=BC，∴三角形ABC为等边三角形．
设三角形ABC的边长为x，则AD=
，AO=
AD＝
×
＝
，又PA=6，
∴PO=
＝
∴VP?ABC＝
×
x?
?
=
=
≤
=36．
当且仅当
＝36?
解：如图，∵O是P在平面ABC内的射影，且满足| OA |
| OB |
| OC |
. |
| 0 |
∴O为三角形ABC的重心，连接AO并延长交BC于D，连接BO并延长交AC于F，则D、F分别为BC和AC的中点，
∵AH⊥平面PBC，BC?平面PBC，∴AH⊥BC，
∵H为三角形PBC的垂心，∴PH⊥BC，又∵PH∩AH=H，
∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥PA，
∵PO⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PO⊥BC，
又∵PA∩PO=P，∴BC⊥平面PAO，∴BC⊥AO，BC⊥AD．
D为BC的中点，AD⊥BC，∴AB=AC．
∵CH⊥PB，AH⊥PB，AH∩CH=H，∴PB⊥面AHC，∴PB⊥AC，
又∵PO⊥AC，PO∩PB=P，∴AC⊥平面PBO，
∴AC⊥BO，AC⊥BF，
又∵F为AC的中点，∴AB=BC，∴三角形ABC为等边三角形．
设三角形ABC的边长为x，则AD=
| ||
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
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| ||
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∴PO=
| PA2?AO2 |
36?
|
∴VP?ABC＝
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| 3 |
| 1 |
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36?
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x2?x2(36?
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| ||
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36?
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当且仅当
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