Question

已知函数f（x）=﹣x 2 +2ex+m﹣1，g（x）=x+ （x＞0）．（1）若g（x）=m有实根，求m的取值范围；（2）

已知函数f（x）=﹣x 2 +2ex+m﹣1，g（x）=x+ （x＞0）．（1）若g（x）=m有实根，求m的取值范围；（2）确定m的取值范围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．

Answer 1

解：（1）方法一：∵g（x）=x+ ≥2e 2 =2e，等号成立的条件是x=e． 故g（x）的值域是[2e，+∞）， 因而只需m≥2e，则g（x）=m就有实根． 故m的取值范围是{m|m≥2e}． 方法二：作出g（x）=x+e2x的图象如图1： 观察图象，知：若使g（x）=m有实根，则只需m≥2e． 故m的取值范围是{m|m≥2e}． 方法三：解方程由g（x）=m，得x 2 ﹣mx+e 2 =0． 此方程有大于零的根，故 ， 等价于 ，故m≥2e． 故m的取值范围是{m|m≥2e}． （2）若g（x）﹣f（x）=0有两个相异的实根，即g（x）=f（x）中， 函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，作出g（x）=x+ （x＞0）的图象，如图2 ∵f（x）=﹣x 2 +2ex+m﹣1 =﹣（x﹣e） 2 +m﹣1+e 2 ， 其对称轴为x=e，开口向下，最大值为m﹣1+e 2 ， 故当m﹣1+e 2 ＞2e， 即m＞﹣e 2 +2e+1时， g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点， 即g（x）﹣f（x）=0有两个相异的实根， ∴m的取值范围是：（﹣e 2 +2e+1，+∞）．