Question

己知函数f(x)=(x^2-ax-a)e^x。(1)讨论f(x)的单调区间;(2)若a∈(0，2)

己知函数f(x)=(x^2-ax-a)e^x。(1)讨论f(x)的单调区间;(2)若a∈(0，2)，对于任意x1，X2∈[-4，0]，都有丨f(x1)-f(x2)丨<4e^-2十me^a恒成立，求m的取值范围。

Answer 1

(1)f'(x)=(2x-a)e^x+(x²-ax-a)e^x=[x²-(a-2)x-2a]e^x
令g(x)=x²-(a-2)x-2a=[x-(a-2)]²-(a+2)²/4
a=-2时 g(x)≥0 f'(x)≥0 f(x)全定义域(x∈R)单调递增
a±-2时
g(x)零点=[(a-2)±|a+2|]/2
x₁=a x₂=-2
a<-2 x₁为极大值点 x₂为极小值点
单调递增区间x∈(-∞,a)∪(-2,+∞)
单调递减区间x∈(a,-2)
a>-2 x₁为极小值点 x₂为极大值点
单调递增区间x∈(-∞,-2)∪(a,+∞)
单调递减区间x∈(-2,a)
(2)若a∈(0,2)，f(x)极大值点x=-2 极小值点x=a
对于任意x₁，x₂∈[-4，0]，区间包含极大值点x=-2，f(x)可以取到的最大值=f(-2)
f(-2)=(4+a)/e²
区间在极小值点x=a的左边，f(x)可以取到的最小值=min[f(-4),f(0)]
f(-4)=(16+3a)/e⁴>0 f(0)=-a<0
∴|f(x₁)-f(x₂)|最大值=(4+a)/e²+a
只要(4+a)/e²+a<4/e²+me^a,则不等式恒成立
(a/e²+a)/e^a<m
令f(a)=(a/e²+a)·e^(-a)
f'(a)=(1-a)(1+1/e²)·e^(-a)
极大值点a=1
f(1)=1/e³+1/e
∴m>1/e³+1/e