Question

若直线y=x+k与曲线x＝√1－y2恰有一个公共点，则k 的取值范围？

Answer 1

曲线x＝√1－y2
是圆x^2
+
y^2
=
1的上半部
，该半圆与圆的左右两个交点为：A(-1
,0)
B(1
,0)
，直线y
=
x
+
k斜率为1
。假设直线从x正半轴向负半轴平移
，则到它从经过B点起
，到经过A点之前
，一直都与该半圆有且仅有一个交点
，这时：
经过B，求得k
=
-1
；经过A
，求得k
=
1
，即有：-1
《
k
<
1
，
直线从经过A点起向左平移
，直到与该半圆相切前
，均与半圆有两个公共点
，
相切时
，恰有一个公共点
，联立解得：k
=
√2
，直线从切点起
，继续向左平移
，则与半圆再无交点
。
综上所述
，若直线y=x+k与曲线x＝√1－y2恰有一个公共点，则k
的取值范围：
【-1
，1）∪{√2}