Question

求1除以sin2x加2sinx的不定积分

Answer 1

∫[1/（sin2x+2sinx)]dx

设t=tan(x/2),则dx=[2/(1+t^2)]dt

同时利用三角万能公式

即sinx=2t/(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2),代入化简易得

原式=1/4*S(t+1/t)dt

=1/4*(1/2*t^2+ln|t|)+C

=1/4*(1/2*t^2+ln|t|)+C

=1/8*t^2+1/4*ln|t|+C

=1/8*[tan(x/2)]^2+1/4*ln|tan(x/2)|+C

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

Answer 2

可以考虑换元法，答案如图所示

Answer 3

∫[1/（sin2x+2sinx)]dx
设t=tan(x/2),则dx=[2/(1+t^2)]dt
同时利用三角万能公式,
即sinx=2t/(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2),代入化简易得,
原式=1/4*S(t+1/t)dt
=1/4*(1/2*t^2+ln|t|)+C
=1/4*(1/2*t^2+ln|t|)+C
=1/8*t^2+1/4*ln|t|+C
=1/8*[tan(x/2)]^2+1/4*ln|tan(x/2)|+C