Question

求函数f（x）＝（1-x）/（1+x）在x＝0处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式

Answer 1

过程如下：

令t=x-1，则有x=t+1，展开为x0=1处的泰勒公式即相当于展开为t的公式：

f(x)=1/x

=1/(1+t)

=1-t+t^2-t^3+t^4-...+(-1)^n t^n+ R(n)t^(n+1)

f^(n)(t)=(-1)^n *n!/(1+t)^(n+1)

f^(ζ)=(-1)^n*n!/(1+ζ)^(n+1)

R(n)=(-1)^n/(1+ζ)^(n+1)

扩展资料：

泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：

1、佩亚诺（Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在。

2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：

其中θ∈（0,1），p为任意正整数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） 

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈（0,1）。

4、柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈（0,1）。

5、积分余项：

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。

Answer 2

令t=x-1,则有x=t+1,展开为x0=1处的泰勒公式即相当于展开为t的公式：

f(x)=1/x=1/(1+t)=1-t+t^2-t^3+t^4-...+(-1)^n t^n+ R(n)t^(n+1)

f^(n)(t)=(-1)^n *n!/(1+t)^(n+1)

f^(ζ)=(-1)^n*n!/(1+ζ)^(n+1)

R(n)=(-1)^n/(1+ζ)^(n+1)

扩展资料

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

4、证明不等式。

5、求待定式的极限。

Answer 3

令t=x-1,则有x=t+1,展开为x0=1处的泰勒公式即相当于展开为t的公式：
f(x)=1/x=1/(1+t)=1-t+t^2-t^3+t^4-...+(-1)^n t^n+ R(n)t^(n+1)
f^(n)(t)=(-1)^n *n!/(1+t)^(n+1)
f^(ζ)=(-1)^n*n!/(1+ζ)^(n+1)
R(n)=(-1)^n/(1+ζ)^(n+1)