设f（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且f（2）=0，证明：至少存在一点ξ∈（1，2），使得ξf′（
设f（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且f（2）=0，证明：至少存在一点ξ∈（1，2），使得ξf′（ξ）lnξ+f（ξ）=0．...
设f（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且f（2）=0，证明：至少存在一点ξ∈（1，2），使得ξf′（ξ）lnξ+f（ξ）=0．
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令F（x）=f（x）lnx．
因为f（x）、lnx在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，
故F（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导．
对F（x）利用拉格朗日中值定理可得，
至少存在一点ξ∈（1，2），使得：F（2）-F（1）=F′（ξ）（2-1）=F′（ξ）．（*）
又因为F′(x)＝f′(x)lnx+f(x)?
，f（2）=0，
所以F′(ξ)＝f′(ξ)lnξ+f(ξ)?
，F（2）=F（1）=0，
从而，由（*）式可得：f′(ξ)lnξ+f(ξ)?
＝0，
即：ξf′（ξ）lnξ+f（ξ）=0
所以，至少存在一点ξ∈（1，2），使得 ξf'（ξ）lnξ+f（ξ）=0．
因为f（x）、lnx在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，
故F（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导．
对F（x）利用拉格朗日中值定理可得，
至少存在一点ξ∈（1，2），使得：F（2）-F（1）=F′（ξ）（2-1）=F′（ξ）．（*）
又因为F′(x)＝f′(x)lnx+f(x)?
| 1 |
| x |
所以F′(ξ)＝f′(ξ)lnξ+f(ξ)?
| 1 |
| ξ |
从而，由（*）式可得：f′(ξ)lnξ+f(ξ)?
| 1 |
| ξ |
即：ξf′（ξ）lnξ+f（ξ）=0
所以，至少存在一点ξ∈（1，2），使得 ξf'（ξ）lnξ+f（ξ）=0．
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