Question

线性变换的实质就是矩阵吗？如果是这样，那求微商是一个怎样的矩阵啊？

Answer 1

从一定意义上讲, 线性变换本质就是矩阵, 但这里有一些细节. 比如说, 有限维空间上的线性变换可以用矩阵来表示, 当然这要事先给定空间的基组. 在给定基组的情况下, 无限维空间上的线性变换也可以认为能够用无限阶矩阵来表示.

如果要求微分算子的表示矩阵, 首先需要给定一个由可微的函数空间(比如R上的多项式), 而且这个空间需要对微分算子封闭(比如R上一阶连续函数的全体就不满足要求, 因为求导不封闭), 这样才能让微分算子作为定义在全空间上的线性变换. 然后在给定空间基组的情况下就可以给出矩阵表示. 一般来讲最好是考虑有限维空间, 因为无限阶矩阵的性质比较复杂. 比方说, 如果考虑不超过3次的多项式构成的4维空间, 并且给定基组{1,x,x^2,x^3}, 那么微分算子在这组基下的表示矩阵就可以按一下方式确定

对于其它的空间, 或者其它的基组, 用的方法也是一样的, 就是一般教材里的方法.