Question

已知0<x<1,求函数y=x(1-x^2)的最大值。

Answer 1

解y=x(1-x^2)
=-x^3+x
求导得y'=-3x^2+1
令y'=0
解得x=√3/3或x=-√3/3(舍去)
当x属于（0，√3/3)时，y'＞0
当x属于（√3/3，1)时，y'＜0
故知当x=√3/3时，y有最大值y=√3/3(1-(√3/3)^2)
=√3/3×2/3
=2√3/9.

追问

能不用求导的方法么

追答

用三次均值不等式我试了不行，
用三角换元不行。
我只能求导了。

追问

哪能详细列出求导过程么

追答

解y=x(1-x^2)
=-x^3+x
求导得y'=-3x^2+1
令y'=0
即-3x^2+1=0
解得x=√3/3或x=-√3/3(舍去)
当x属于（0，√3/3)时，y'＞0,即函数f（x）在（0，√3/3)增函数
当x属于（√3/3，1)时，y'＜0，即函数f（x）在（√3/3，1)减函数
故知当x=√3/3时，y有最大值y=√3/3(1-(√3/3)^2)
=√3/3×2/3
=2√3/9.

Answer 2

谢谢你，让我回答问题，这是二次函数，y=x(1-x)=-x^2+x,,,,对称轴x=1/2,开口向下，而且x=1/2在区间（0，1），最大值是1/4,x=1/2(画图像很直观)

追问

括号里的是x的平方

Answer 3

y'=1-3*x^2,
当0<x<√3/3时，
y'>0,单调递增，
当√3/3<x<1时，
y'<0,单调递减，
∴当x=√3/3时，
y=2√3/9最大