(2011?武汉五月调考)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,C为BD弧的中点,AC、BD交于点E.(1)

(2011?武汉五月调考)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,C为BD弧的中点,AC、BD交于点E.(1)求证:△CBE∽△CAB;(2)若S△CBE:S△... (2011?武汉五月调考)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,C为BD弧的中点,AC、BD交于点E.(1)求证:△CBE∽△CAB;(2)若S△CBE:S△CAB=1:4,求sin∠ABD的值. 展开
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解答:(1)证明:∵点C为弧BD的中点,∴∠DBC=∠BAC,
在△CBE与△CAB中;
∠DBC=∠BAC,∠BCE=∠ACB,
∴△CBE∽△CAB.

(2)解:连接OC交BD于F点,则OC垂直平分BD
∵S△CBE:S△CAB=1:4,△CBE∽△CAB,
∴AC:BC=BC:EC=2:1,
∴AC=4EC,
∴AE:EC=3:1,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD∥OC,则AD:FC=AE:EC=3:1,
设FC=a,则AD=3a,
∵F为BD的中点,O为AB的中点,
∴OF是△ABD的中位线,则OF=
1
2
AD=1.5a,
∴OC=OF+FC=1.5a+a=2.5a,则AB=2OC=5a,
在Rt△ABD中,sin∠ABD=
AD
AB
=
3a
5a
3
5
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