Question

已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且对任意的n∈N*，都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn＝n?2n+3．

已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且对任意的n∈N*，都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn＝n?2n+3．（1）若{bn}的首项为4，公比为2，求数列{an+bn}的前n项和Sn；（2）若a1=8， ①求数列{an}与{bn}的通项公式； ②试探究：数列{bn}中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它r（r∈N*，r≥2）项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵{b_n}是等比数列，首项为4，公比为2，
∴b_n=4?2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∵数列{a_n}是等差数列，且对任意的n∈N^*，
都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn＝n?2n+3，
∴a₁b₁=2⁴，∴a1＝

24

b1

＝

24

4

=4，
a1b1+a2b2＝2?25，
∴a2b2＝2?25?24＝48，
∴a₂=

48

b2

=

48

23

=6，
∴d=a₂-a₁=6-4=2，
∴a_n=4+（n-1）×2=2n+2．
∴S_n=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=[4n+

n(n?1)

2

×2]+

4(1?2n)

1?2

=n²+3n+2ⁿ⁺²-4．
（2）①∵a₁=8，a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn＝n?2n+3，
∴8b₁=2⁴，解得b₁=2，
设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则

16+(8+d)?2q＝2?25 2?25+(8+2d)?2q2＝3?26

，
解得d=4，q=2