Question

设函数 f(x)=lg(x+√x²+1） x²+1都在根号下 (1)确定函数f (x)的定义域

设函数 f(x)=lg(x+√x²+1）
x²+1都在根号下
(1)确定函数f (x)的定义域
(2)判断函数f (x)的奇偶性
(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；

Answer 1

(1)
x+√(x²+1)=(x²+1-x²)/[√(x²+1)-x]=1/[√(x²+1)-x]
√(x²+1)>√x²=|x|≥x
√(x²+1)-x恒>0
x+√(x²+1)恒>0，函数定义域为R
(2)
函数定义域为R，关于原点对称。
f(-x)=lg[-x+√(x²+1)]=lg[√(x²+1)-x]=-lg[√(x²+1)+x]=-f(x)
函数是奇函数。
(3)
x=0时，f(x)=lg1=0
x>0时，
x、√(x²+1)均随x增大而单调递增，底数10>1，对数值随真数增大而单调递增
f(x)>0且单调递增。
由奇函数性质知：x<0时，f(x)<0且单调递增
综上，得：函数f(x)在R上单调递增。

追问

第一问没看懂，不好意思，能说说第一步怎么就转化成后面的比了吗

追答

分子有理化。给出的真数是x+√(x²+1)，不容易判断，那么就进行分子有理化
x+√(x²+1)=[x+√(x²+1)]/1
=[x+√(x²+1)][√(x²+1)-x]/[√(x²+1)-x]
=[(x²+1)-x²]/[√(x²+1)-x]
=1/[√(x²+1)-x]
容易判断分母恒为正，那么，无论x取何实数，真数恒>0，表达式恒有意义，定义域为R

追问

谢了