Answer 1

原题是:已知函数f(x)=x²+2x,若存在实数t,当x∈[1,m]时,f(x+t)≤3x恒成立. 求m的取值范围。
设g(x)=f(x+t)-3x，即g(x)=(x+t+1)²-3x-1
则g(x)的图象是开口向上的抛物线
x∈[1,m]时,f(x+t)≤3x恒成立的充要条件是:
g(1)=(t+2)²-4≤0 且 g(m)=(t+m+1)²-3m-1≤0 (m>1)
即 -4≤t≤0 且 (t+m+1)²-3m-1≤0
设h(t)=(t+m+1)²-3m-1
存在实数t,当x∈[1,m]时,f(x+t)≤3x恒成立的充要条件是:
h(t)≤0在[-4,0]上有解.
得 h(-4)=(m-3)²-3m-1≤0 解得 1≤m≤8
或h(0)=(m+1)²-3m-1≤0 解得 0≤m≤1
或-4<-m-1<0且-3m-1≤0 解得 -1/3≤m<3
得 -1/3≤m≤8
又m>1
所以 m的取值范围是1<m≤8

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