Question

定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（1+x）=f（1-x），当x∈[...

定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，则f（2011）的值是（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2

Answer 1

由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（1+x）=f（1-x），我们可以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出函数的周期，进而结合当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，即可f（2011）的值．
【解析】
∵f（1+x）=f（1-x），
故直线x=1是函数y=f（x）的一条对称轴
又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
则T=4是函数y=f（x）的一个周期
又∵当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，
故f（2011）=f（-1）=-1
故选A