Question

已知函数f(x)=alnx-1/x，求函数的单调区间；当a=1，x大于或等于2时，证明f(x-1)=或小于2x-5

Answer 1

解：（1）依题意，f(x)的定义域为(0,＋无穷)
求导得f'(x)=a/x+x^(-2)
令f'(x)>0，整理得ax+1>0
若a=0,f'(x)恒大于0
若a>0，x>-1/a，因为0>-1/a，所以此时f'(x)在定义域内恒大于0
若a< 0,x<-1/a，此时须满足0<-1/a，即a<0满足条件
综上所述.a>=0时，f(x)在定义域内单调递增，即单调区间为(0,正无穷）
a<0时，f(x)的单调递增区间为（0,-1/a)；单调递减区间为(-1/a,0) （2）当a=1，且x≥2时，f(x)=lnx-1/x，由（1）可知，此时f（x）为单调递增函数令g（x）=f(x-1)-(2x-5)=ln(x-1)-1/(x-1)-(2x-5),对g()x)求导得g'（x）=1/(x-1)+1/(x-1)^2 -2=-2[(x-5/4)�0�5-9/16]/(x-1)因为x≥2，所以g'（x）恒＜0所以g（x）为单调递减函数，其最大值为g（2）=0所以f（x-1)≤2x-5，得证！