Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求OA

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求OA?OB的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）
设l：x=ty+1代入y²=4x消去x得
y²-4ty-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4
∴

OA

?

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+1）（ty₂+1）+y₁y₂
=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4t²+4t²+1-4=-3．
（Ⅱ）设P（x，y），则|PQ|=

(x?5)2+y2

=

(x?5)2+4x

=

(x?3)2+16

，
∴x=3时，P到Q（5，0）的距离最小，
此时，P(3，±2

3

)，|PQ|_min=4．