Question

如图(1)是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2

如图(1)是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)．如此继续下去，得图(3)…试求第n个图形的边长和周长．

Answer 1

解：设第n个图形的边长为a n ， 由题意知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的 ， 所以数列{a n }是首项为1，公比为 的等比数列， 故 ， 要计算第n个图形的周长，只需计算第n个图形的边数，第1个图形的边数为3，因为从第2个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，所以第n个图形的边数为3×4 n-1 ， 因此，第n个图形的周长= ×（3×4 n-1 ）=3× 。