Question

因式分解：(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5，请给出过程。谢谢！

Answer 1

正巧，我刚答过。
http://zhidao.baidu.com/question/168900043.html

你应该知道因式定理：
如果x=a时，多项式 b•x^n+c•x^(n-1)+d•x^(n-2)+……+mx+n的值为0，那么(x-a)是该多项式的一个因式。

当然 含有多个字母的式子 也同样成立

我想你还应该知道 轮换对称多项式：
一个含有多个字母的多项式，把其中所含的字母按一定顺序（一般按字母表的前后顺序）排列后，把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母，以此类推，并把最后一个字母换成第一个字母，如果得到的多项式与原来多项式相同，那么这个多项式就是
轮换对称多项式

比如(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5，按a，b，c顺序轮换变成(b-c)^5+(c-a)^5+(a-b)^5，仍与原多项式相同，所以(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5是轮换对称多项式

对于轮换对称多项式 ，如果已知它含有一个低次数的因式，那么它必含有 相同类型其他因式。

比如 分解因式：(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5
把a=b代入得 0^5+(a-c)^5+(c-a)^5=0
所以 a-b是(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 的一个因式
因为 (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 是轮换对称多项式
所以 b-c, c-a也是(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5的因式

因为 (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 是轮换对称多项式

根据其特点，设(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 =(a-b)(b-c)(c-a)[k(a²+b²+c²)+m(ab+bc+ac)]

令 a=1，b=0，c=-1代入
得 (1-0)^5+[0-(-1)]^5+(-1-1)^5=(1-0)×[0-(-1)]×(-1-1)×(2k-m)
即 -30= -2（2k-m）
2k-m=15……①

令 a=2，b=1，c=0代入
(2-1)^5+(1-0)^5+(0-2)^5=(2-1)×(1-0)×(0-2)×(5k+2m)
-30=-2(5k+2m)
5k+2m=15……②

联立①，②解得，k=5，m=-5
所以 (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 =(a-b)(b-c)(c-a)[5(a²+b²+c²)-5(ab+bc+ac)]
=5(a-b)(b-c)(c-a)（a²+b²+c²-ab-bc-ac)

顺便提一下 (a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5=5(a+b)(b+c)(c+a)(a²+b²+c²+ab+bc+ac)

(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5的分解方法，和这这道题一样，你可以自己试着分解，如果不懂可以问我。

【如有不懂，请Hi上问我】