Question

数列An的前n项和为Sn,A1=1,且A(n+1)为下标=2Sn+1(n∈N)

1.An的通项公式
2.若bn=nAn,求{bn}的前n项和Tn

Answer 1

a(n+1)=2Sn+1
an=2S(n-1)+1
a(n+1)-an=2[Sn-S(n-1)]=2an
a(n+1)=3an
an=3^(n-1)
{an}是以1为首项，公比为3的等比数列。

bn=nAn
Tn=b1+b2+…+bn
Tn=1*1+2*3^1+3*3^2+…+n3^(n-1)
3Tn=3(1*1+2*3^1+…+n3^(n-1))
2Tn=-1-3^1-1*3^2-…-3^(n-1)+n3^(n-1)
2Tn=-(1-3^n)/(1-3)+n3^(n-1)
Tn=(1-3^n)/4+n3^(n-1)/2

Answer 2

An=2* S(n-1) +1
两式相减得 an (Sn- Sn-1 =An)

剩下的自己来吧！

Answer 3

1.
A(n+1)=S(n+1)-Sn=2Sn+1
S(n+1)+0.5=3Sn+1.5=3(Sn+0.5)
{Sn+0.5}是公比为3的等比数列
S1+0.5=A1+0.5=1.5
Sn+0.5=1.5×3^(n-1)
Sn=(3^n-1)/2
n>=2时
An=Sn-S(n-1)
=(3^n-1)/2-(3^(n-1)-1)/2
=3^(n-1)
n=1时，A1=1也满足上式

2.
Tn=B1+B2+B3+……+Bn
=1×1+2×3+3×9+……+n×3^(n-1)
3Tn=1×3+2×9+3×27+……+n×3^n
两式错位相减
Tn-3Tn=1+[(2×3-1×3)+(3×9-2×9)+……+n×3^(n-1)-(n-1)×3^(n-1)]-n×3^n
=1+(3+9+……+3^(n-1))-n×3^n
=1×(1-3^n)/(1-3)-n×3^n
=(1/2-n)×3^n-1/2
Tn=[1+(2n-1)×3^n]/4