设函数f（x）在（-∞，+∞）内满足f（x）=f（x-π）+sinx，且f（x）=x，x∈[0，π）．计算∫?2ππf(x)dx
设函数f（x）在（-∞，+∞）内满足f（x）=f（x-π）+sinx，且f（x）=x，x∈[0，π）．计算∫?2ππf(x)dx．...
设函数f（x）在（-∞，+∞）内满足f（x）=f（x-π）+sinx，且f（x）=x，x∈[0，π）．计算∫?2ππf(x)dx．
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f（x）=f（x-π）+sinx
所以：f（x+π）=f（x）-sinx 即：f（x）=f（x+π）+sinx
所以：f（x-π）=f（x+π） 即：f（x）=f（x+2π） f（x）是以2π为周期的周期函数
又f（x）=f（x+π）+sinx=x+π+sinx，x∈（-π，0]，f（x）=x，x∈（-2π，-π]
所以：
原式=-
f(x)dx=-（
xdx+
x+π+sinxdx+
xdx）=?
?2
所以：f（x+π）=f（x）-sinx 即：f（x）=f（x+π）+sinx
所以：f（x-π）=f（x+π） 即：f（x）=f（x+2π） f（x）是以2π为周期的周期函数
又f（x）=f（x+π）+sinx=x+π+sinx，x∈（-π，0]，f（x）=x，x∈（-2π，-π]
所以：
原式=-
| ∫ | π ?2π |
| ∫ | ?π ?2π |
| ∫ | 0 ?π |
| ∫ | π 0 |
| π |
| 2 |
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