Question

已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，左、右焦点分别为F 1 、F 2 ，点P(2， )，点F 2 在线

已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，左、右焦点分别为F 1 、F 2 ，点P(2， )，点F 2 在线段PF 1 的中垂线上．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M、N两点，直线F 2 M与F 2 N的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标．

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Answer 1

(1)由椭圆C的离心率e＝ ，得＝ ，其中c＝， 椭圆C的左、右焦点分别为F 1 (－c,0)、F 2 (c,0)． 又点F 2 在线段PF 1 的中垂线上， ∴|F 1 F 2 |＝|PF 2 |，∴(2c) 2 ＝( ) 2 ＋(2－c) 2 ， 解得c＝1，∴a 2 ＝2，b 2 ＝1，∴椭圆的方程为＋y 2 ＝1. (2)由题意直线MN的方程为y＝kx＋m， 由消去y得(2k 2 ＋1)x 2 ＋4kmx＋2m 2 －2＝0. 设M(x 1 ，y 1 )，N(x 2 ，y 2 )， 则x 1 ＋x 2 ＝－，x 1 x 2 ＝，且kF 2 M＝，kF 2 N＝， 由已知α＋β＝π得 即＋＝0. 化简，得2kx 1 x 2 ＋(m－k)(x 1 ＋x 2 )－2m＝0， ∴2k·－－2m＝0，整理得m＝－2k. ∴直线MN的方程为y＝k(x－2)， 因此直线MN过定点，该定点的坐标为(2,0)．

略