Question

已知函数f（x）=x^3-3x^2+ax+2，曲线y=f（x）在（0，2）

已知函数f（x）=x^3-3x^2+ax+2，曲线y=f（x）在（0，2）已知函数f（x）=x^3-3x^2+ax+2，曲线y=f（x）在（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2
⑴求a的值；
⑵证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点

Answer 1

f(x) = x³ - 3x² + ax + 2
f'(x) = 3x² - 6x + a

(1) 设 L 为 f(x) 在点 (0,2) 的切线，根据题意可得 L 过点 ( 0 , 2 ) 和点 ( -2 , 0 ) ，不难得知 L : y = x + 2
f'(0) = a = 1

(2) 若 f(x) = x³ - 3x² + x +2 与直线 y = kx - 2, ( k < 1 ) 存在交点，则：
x³ - 3x² + x +2 = kx - 2, ( k < 1 )
x³ - 3x² + ( -k + 1 )x + 4 = 0, ( -k + 1 > 0 )
令 g(x) = x³ - 3x² + ( -k + 1 ) x + 4, ( -k + 1 > 0 )
当 g(x) = 0 时，即 f(x) 与 直线 y = kx - 2 存在交点，此时 g(x) = 0 的实数解的数量即为交点数量。
g'(x) = 3x² - 6x + ( 1 - k ), ( 1 - k > 0 )
对于函数 g'(x) 而言，Δ = b² - 4ac = 36 - 12( 1 - k ), ( k < 1 )
即 Δ = 12( k + 2 ), ( k + 2 < 3 )

①当 Δ > 0 ，即 ( k + 2 ) ∈ ( 0 , 3 ), k ∈ ( -2 , 1) 时，
g'(x) 有两个不相等的实数根 x1, x2 ( x1 < x2 ) ，即：g(x) 在 ( -∞ , x1 ) 和 ( x2 , +∞ ) 单调递增，在 ( x1 , x2 ) 单调递减。
根据求根公式可知，x = ( -b ± √Δ ) / 2a = { 6 ± √[ 12( k + 2 ) ] } / 6, [ k ∈ ( -2 , 1 ) ]
得出： x1 ∈ ( 0 , 1 ) ， x2 ∈ ( 1 , 2 )
当 x ∈ ( 0 , 1 ) 时，g(x) = x³ - 3x² + ( -k + 1 ) x + 4 恒大于 0, ( -k + 1 > 0 )
当 x ∈ ( 1 , 2 ) 时，g(x) = x³ - 3x² + ( -k + 1 ) x + 4 恒大于 0, ( -k + 1 > 0 )
故 g(x) 在 ( x1 , x2 ) 区间无零值， g(x) 在 R上有且仅有 1 个零值，即 f(x) 与 y = kx - 2 有且仅有 1 个交点。

②当 Δ = 0 ，即 k + 2 = 0, k = -2 时，
g'(x) 有两个相等的实根 x1 = x2 = x ，即 g(x) 在 R 上单调递增， g(x) 有且仅有 1 个零值，即 f(x) 与 y = kx - 2 有且仅有 1 个交点。

③当 Δ < 0 ，即 ( k + 2 ) ∈ ( -∞ , 0 ), k ∈ ( -∞ , -2 ) 时
g'(x) 在 R 上恒大于等于0，即 g(x) 在 R 上单调递增， g(x) 有且仅有 1 个零值，即 f(x) 与 y = kx - 2 有且仅有 1 个交点。